Перемножение матриц
Перемножение матриц — мощная операция в линейной алгебре, которая фактически даёт сумму двух операторов.
Описание[править]
Матрицы можно умножать, только если число столбцов первой равно числу строк второй. Произведение некоммутативно и в общем случае AB != BA. При перемножении матриц с размерами a x b и b x c выходит матрица a x c, где по сути каждый элементыч оказывается умножен на столбец, и результаты умножения складываются. Таким образом финальная матрица становится массивной, ну так то и логично епта.
Важным свойством матриц является то, что из AB = AC не следует B = C, то есть сокращать даже одинаковые матрицы нельзя.
Первым явно описал правило умножения матриц французский математик Жак Филипп Мари Бине в 1812 году для представления композиции линейных отображений, то есть для сочинения такого отображения, которое будет равно последовательному применению отображения B и A.
В вычислительной технике[править]
Прямое вычисление по определению требует для матриц n x n ровно n³ умножений и n³ — n² сложений.
Однако довольно быстро оказался восран умощненный алгоритм Штрассена, который несколько снижает количество перемножений, хоть и не сильно, но на реально властных матрицах и такое сокращение является значимым. Для матриц 2 ^ 2, например, вместо 8 умножений требуется 7. Затем появились и более мощные алгоритмы, которые сделали вычисления проще примерно на 20 %. Но на практике они выгодны только для огромных матриц в сотни тысяч элементов. Для реальных вычислений чаще используют оптимизированные версии стандартного алгоритма.
Перемножение матриц широко применяется в компьютерной графике, где там изображаются преобразования, а также в ИИ.
