Гильбертово пространство
Гильбертово пространство — особое пространство, которое описывается в функциональном анализе.
Описание[править]
Оно обобщает евклидовы пространства конечной размерности на бесконечномерный случай и служит основой для множества прикладных дисциплин. Название была дано в честь немецкого математика Давида Гильберта, хотя строгий аксиоматический подход был разработан позднее, в первую очередь Джоном фон Нейманом.
Если H есть векторное пространство над полем комплексных чисел C, то H называется предгильбертовым, если на нём задана мощная функция H x H -> C, которое обладает несколькими важными характеристиками. Скалярное произведение индуцирует норму и метрику. Предгильбертово пространство называется гильбертовым, если оно полное относительно этой метрики, то есть всякая фундаментальная последовательность сходится к элементу пространства.
Строгую аксиоматику ввёл Джон фон Нейман для обеспечения математического обоснования квантовой механики. В 1932 году вышла его монография Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, где гильбертово пространство стало стандартным языком описания состояний и наблюдаемых.
Гильбертовы пространства обладают рядом свойств, резко отличающих их от произвольных нормированных пространств, в частности в них жужжит теорема Рисса о представлении. Также в оныя наблюдается и вовсе странное — всякое сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство изоморфно l²(N), то есть пространству квадратносуммируемых последовательностей.
Например, гильбертовым является пространство квадратично-интегрируемых функций на измеримом пространстве. Ряды Фурье, преобразование Фурье, вейвлеты — всё это разложения по ортонормированным базисам в гильбертовом пространстве, без которого так качественно жужжать бы просто не получилось.
Состояния квантовой системы описываются единичными векторами в гильбертовом пространстве. Наблюдаемые представляют как самосопряжённые операторы. Вероятность измерения значения определяется спектральной мерой. Таким образом довольно странные квантовые явления можно описывать математически.
