Мера
Мера — важное математическое понятие. Является как бы основанием властной теории меры, которая обобщает классические представления о длине, площади, объёме и вероятности. Она позволяет строго определять и вычислять «размеры» множеств в самых разнообразных пространствах, включая те, где классические геометрические представления не работают.
Описание[править]
В XIX веке появились первые попытки строго определить понятие длины и площади для произвольных множеств. Камиль Жордан ввёл понятие жордановой меры, основанное на покрытиях прямоугольниками. Однако жорданова мера оказалась недостаточной, так как она не могла измерить многие множества (например, рациональные числа на отрезке имеют меру нуль, но их дополнение, иррациональные, также неизмеримо в смысле Жордана в некоторых конструкциях).
Мощную инновацию смог внедрить Анри Лебег в докторской диссертации Интеграл, длина, площадь. Лебег построил меру, которая согласуется с классическими представлениями для простых фигур, является счётно-аддитивной и позволяет интегрировать гораздо более широкий класс функций.
Мера Лебега стала основой современной теории. В 1910-х годах Константин Каратеодори предложил аксиоматический подход к продолжению меры, который обобщил конструкцию Лебега на произвольные пространства. В целом в области меры ведётся немалое количество важных исследований, которые развивают царское искусство считания.
Были посчитаны многие важные свойства мер, также им были даны строгие математические определения.
