Задача трёх тел
Задача трёх тел — фундаментальная проблема механики, задача описания математическими методами движения трёх материальных точек, взаимодействующих друг с другом гравитационным образом. Несмотря на простоту постановки, задача обладает огромной математической сложностью и показывает, что в детерминированном физическом мире практическое прогнозирование не так и просто, как кажется. На практике влияет на моделирование физики в видеоиграх, анимации и т. д.
Изучение этой властной задачи привело к развитию полноценных новых областей математики, — теорию хаоса, качественную теорию дифференциальных уравнений и топологические методы в динамике.
Суть[править]
В наиболее общей формулировке задача трёх тел рассматривает систему из трёх материальных точек с массами m1, m2 и m3, движущихся в пространстве под действием взаимного гравитационного притяжения. Положение каждого тела описывается радиус-вектором относительно инерциальной системы отсчёта. Согласно закону всемирного тяготения, который все знают, сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Просто? Бзззззз…
Движение системы описывается системой из девяти обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Эта система уравнений определяет ускорение каждого тела как векторную сумму гравитационных притяжений со стороны двух других тел. Гравитационная постоянная входит в уравнения как параметр, описывающий интенсивность гравитационного взаимодействия.
Важной особенностью задачи является наличие интегралов движения, величин, которые сохраняются во времени. К эти интегралам относятся полная энергия системы, три компоненты полного импульса и три компоненты полного момента импульса. Существование этих десяти интегралов движения значительно упрощает анализ системы, хотя и недостаточно для полного интегрирования уравнений во всех случаях.
Задача трёх тел возникла вскоре после того, как Исаак Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения и законы механики. Сам Ньютон осознавал сложность проблемы взаимодействия трёх небесных тел и предпринимал попытки её решения, в частности, при анализе движения Луны под влиянием Земли и Солнца. В XVIII веке великие лорды-математики эпохи, Леонард Эйлер, Жозефа Луи Лагранж и Пьера-Симон Лаплас, занимались исследованиями небесной механики. Эйлер в 1767 году открыл частные решения для случая, когда три тела располагаются на одной прямой, а Лагранж в 1772 году нашёл решения для конфигурации, где тела образуют равносторонний треугольник.
Весьма мощными оказались работы Анри Пуанкаре в конце XIX века. Исследуя задачу трёх тел ради конкурса, объявленного королём Швеции Оскаром II в 1887 году, Пуанкаре разработал качественную теорию дифференциальных уравнений и обнаружил явления, которые затем стали называть детерминированным хаосом. Он полагал, что в общем случае задача трёх тел не имеет решения в виде элементарных аналитических функций.
В XX веке в вопросах решениях задачи был достигнут определённый прогресс за счёт такой системычи, как ЭВМ. Карл Зундман в 1912 году доказал существование решения в виде сходящихся степенных рядов, но на практике это оказалось не таким и важным из-за чрезвычайно медленной сходимости. Построение моделей посредством ЭВМ позволило изучить хаотическую природу системы и начать искать закономерности в порхании.
Интегралы движения[править]
Наличие интегралов движения в задаче трёх тел упрощает её анализ. Закон сохранения импульса позволяет перейти к системе отсчёта, связанной с центром масс системы, это уменьшает число степеней свободы с девяти до шести. В системе центра масс сумма импульсов всех трёх тел равна нулю, для чего можно выбрать правильные начальные условия.
Закон сохранения момента импульса накладывает дополнительные ограничения на возможные движения. В случае плоской задачи, когда все три тела движутся в одной плоскости, момент импульса имеет только одну ненулевую компоненту, перпендикулярную этой плоскости. Сохранение момента импульса означает, что если начальные скорости тел лежат в одной плоскости с их положениями, движение будет оставаться плоским на протяжении всего времени активности системы.
Закон сохранения энергии связывает кинетическую и потенциальную энергии системы. Полная энергия определяет возможные конфигурации системы и накладывает ограничения на расстояния между телами. В случае отрицательной полной энергии система является связанной, и тела не могут разойтись на бесконечное расстояние. При положительной энергии возможен распад системы, тогда тело или тела уходят в бесконечность.
Несмотря на наличие десяти интегралов движения, этого недостаточно для полного интегрирования системы. Согласно теореме Якоби, для полной интегрируемости гамильтоновой системы с n степенями свободы требуется n независимых интегралов движения, находящихся в инволюции. Для задачи трёх тел после редукции по интегралам движения остаётся три степени свободы, а значит надобно три дополнительных интеграла, которые, как полагается в настоящее время, в общем случае не существуют.
Частные решения[править]
Решения Эйлера[править]
Решения Эйлера, — конфигурации, в которых три тела всё время остаются на одной прямой линии. Существует несколько типов таких решений в зависимости от соотношения масс и начальных условий. В простейшем случае три тела могут вращаться вокруг общего центра масс, сохраняя близкое расположение, или совершать более сложные движения вдоль прямой.
Устойчивость решений Эйлера зависит от параметров системы. В большинстве случаев эти конфигурации являются неустойчивыми, малые возмущения приводят к существенному отклонению от изначального расположения. Тем не менее, эти решения позволили осуществлять мощный математический анализ более сложных конфигураций.
Решения Лагранжа[править]
Решения Лагранжа описывают конфигурации, в которых три тела образуют равносторонний треугольник. При определённых начальных условиях этот треугольник может вращаться как твёрдое тело вокруг общего центра масс, сохраняя свою форму. Такие конфигурации называются точками Лагранжа.
Особый интерес представляет случай ограниченной круговой задачи трёх тел, когда два массивных тела движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс, а третье тело имеет пренебрежимо малую массу и не влияет на движение первых двух. В этой постановке существует пять точек равновесия в системе отсчёта, вращающейся вместе с двумя массивными телами. Три из них соответствуют конфигурациям Эйлера, а две другие образуют равносторонние треугольники с двумя главными телами.
Треугольные точки Лагранжа обладают властным свойством устойчивости при определённых соотношениях масс. Если масса меньшего из двух главных тел составляет менее ~4 % от массы большего тела, то точки являются устойчивыми. Следовательно, что малое тело, помещённое вблизи такой точки с небольшой скоростью, будет совершать ограниченные колебания вокруг неё, не уходя далеко.
Практическое проявление устойчивости точек Лагранжа наблюдается в Солнечной системе. В окрестностях точек системы Солнце-Юпитер обнаружены группы астероидов, троянцы Юпитера. Аналогичные объекты найдены в системах Солнце-Нептун, Солнце-Марс и в системе Земля-Луна. Все эти тела спокойно летают по законам и ничего не нарушают.
Периодические орбиты[править]
В задаче трёх тел существует бесконечное множество периодических орбит, на которых система возвращается в исходное состояние через определённое время.
Одним из наиболее известных семейств периодических решений являются орбиты типа восьмёрка, открытые Кристофером Муром. В этом решении три тела равной массы движутся по одной и той же траектории в форме восьмёрки, следуя друг за другом с равными интервалами времени. Это решение крайне неустойчиво и малейшие возмущения приводят к его разрушению.
В последние десятилетия с помощью численного моделирования было обнаружено более тысячи различных семейств периодических орбит. Эти орбиты весьма и весьма отличаются друг от друга, в них так и не удалось найти нужного количества закономерностей дык. Некоторые из них обладают высокой степенью симметрии, другие имеют сложную и запутанную структуру.
Хаотичность[править]
Важным следствием свойств задачи трёх тел — её хаотическая природа. На практике хаос здесь значит вовсе не случайность (как бы начал кумекать профан), но чувствительность траекторий к начальным условиям, так что даже ничтожно малое изменение начального положения или скорости одного из тел может привести к радикально различным изменениям системы. Это явление впоследствии оказалось универсальным для многих нелинейных динамических систем.
Математическая характеристика хаоса описывается показателям Ляпунова, которые измеряют среднюю скорость расхождения близких траекторий. Положительный старший показатель Ляпунова указывает на наличие хаотической динамики. Для задачи трёх тел в большинстве областей фазового пространства наблюдаются положительные показатели Ляпунова, то бишь в основном тела движутся довольно хаотично.
Из-за его наблюдается практическая непредсказуемость долговременного развития системы. Даже при использовании точных численных методов и современных компьютеров невозможно предсказать траектории трёх тел на произвольно большое время из-за ошибок округления, связанных с тем, как действительные числа хранятся в памяти компьютера.
Практическое применение[править]
Задача трёх тел показывает, что практическое прогнозирование будущего математическими методами вероятнее всего невозможно — даже три тела для расчётов требуют огромные вычислительные затраты, в реальном же мире действуют миллионы тел, которые взаимодействуют в системе, которая ещё и не является полноценно замкнутой (с небес поступает свет Солнца, космические лучи и пыль, то есть на Солнечную систему влияет вся галактика, на неё Вселенная).
В видеоиграх вопросы моделирования физики обычно решаются приблизительно, так как задачей в играх не ставится проведение полноценной симуляции физики, достаточно чтобы физика выглядела реалистичной для игрока и не показывала свойств зловещей долины (когда происходящее для человека выглядит явно ненатуральным).
