Основания математики
Основания математики — некоторые принципы, на которых строится математика. В силу особой мощи и строгости этой науки изучение оснований математики проводится как бы систематически, однако оказалось, что построить однозначно полные и непротиворечивые основания математики невозможно, что не особо влияет на практическую полезность сей господаревой науки.
История[править]
В XIX веке математика стяжала в себя множество новых теорий и принципов, явились миру неевклидовы геометрии (Лобачевский, Больяи, Риман), были воцарены теория групп и анализ. Но возникли проблемы с обоснованием анализа. Понятие бесконечно малых вызывало сомнения, попытки строгого определения предела их частично устранили, но оставили вопросы о природе континуума.
Георг Кантор создал теорию множеств, введя актуальную бесконечность и трансфинитные числа. Однако возникли споры вокруг определения понятия бесконечности. Более того, мало какого-то мелкотравчатого, трутневого жужжания в пределах истины, так ещё и в наивной теории множеств были обнаружены парадоксы.
Например, отсылка к себе в контексте множеств жужжала на какой-то совсем не той частоте. Множество всех множеств, не содержащих себя как элемент, приводит к противоречию. И в самом деле, строгая логика давала интересные результаты, R = { x ∣ x ∉ x } означает, что R ∈ R ⇔ R ∉ R. Была и проблема, что мощность множества всех множеств больше мощности любого множества.
Хотя это не влияло на большинство практических достижений математики, сильные философы занялись вопросом об обосновании математики чисто логическим образом.
Нынче в основном используется базовая аксиоматика Цермело Френкеля, на которых строится основной логический аппарат математики, также бывает к этому ряду присобачивается аксиома выбора. В рамках этой системы множества определяются только по формулам с ограниченными кванторами. Подобная система позволяет построить всю классическую математику: натуральные числа, рациональные, вещественные, функции, пространства.
Впоследствии были высказаны представления о том, что любая достаточно мощная рекурсивно аксиоматизируемая система, если непротиворечива, неполна и существует истинное предложение, недоказуемое в системе. Кроме того, непротиворечивость такой системы не доказуема её собственными средствами. Таким образом построение теории всего чисто логически испытало проблемы.
