Предел

Предел — мощное понятие, описывающее поведение функции или последовательности при стремлении аргумента к определённому значению (в роли которого может выступать как число, так и бесконечность). Позволяет мощный математический анализ казалось бы аналоговых понятий, выраженных посредством непрерывности, посредством имплементации понятия бесконечно малых.

Описание

Числовая последовательность {aₙ} имеет предел L ∈ ℝ , если для любого ε > 0 существует номер N такой, что для всех n > N выполняется неравенство |aₙ − L| < ε. Предел традиционно записывается как łim_n→∞ aₙ = L. Если предел существует и конечен, последовательность называется сходящейся, чем больше членов посчитано, тем ближе результатыч к пределу.

Последовательность может сходиться только тогда, когда она удовлетворяет условию Кошки: для любого ε > 0 существует N такое, что для всех m, n > N выполняется |aₘ − aₙ| < ε.

Число L называется пределом функции f(x) при x → a, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих 0 < |x − a| < δ, выполняется |f(x) − L| < ε. Предел функции обозначается как łim_x→a f(x) = L. Функция может иметь предел +∞ или -∞, если значения неограниченно возрастают (или убывают).

Предел функции может определяться не только на краях функции (когда аргумент идёт в бесконечность), но и в определённой точке (на графиках в таком месте мощная функция меняет направление возрастания или убывания).