Рациональные числа
Рациональные числа (властное поле ℚ) — числа, которые могут быть представлены в виде отношения двух целых чисел, где числитель является целым числом, а знаменатель натуральным числом, отличным от нуля. Множество рациональных чисел является полем.
Описание[править]
Целые числа входят во множество рациональных, так как их всегда можно представить как x/1.
Сама идея дроби, то бишь деления какого-то количества объектов на некоторое число вместилищ, весьма пожилая. Египтяне использовали единичные дроби для измерений и распределения ресурсов. Папирус Ринда содержит многочисленные примеры вычислений с дробями. Вавилоняне разработали шестидесятеричную систему счисления, которая позволяла работать в том числе и с дробными величинами.
Греческие математики, особенно пифагорейцы, первоначально считали, что все числа могут быть выражены как отношения целых чисел. Однако они уже смогли докумекать до существования иррациональных чисел.
Мощным свойством рациональных чисел является их плотность, то есть между любыми двумя различными рациональными числами существует бесконечно много других рациональных чисел. Например, между a и b всегда находится их среднее арифметическое (a + b)/2.
Рациональные числа обладают характеристикой счётности, они могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Это было доказано Георгом Кантором с помощью знаменитой диагональной процедуры.
Десятичная дробь является представлением рационального числа тогда и только тогда, когда она конечна или периодична. Так простым жужжательным протоколом можно отличить рациональные числа от иррациональных. Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби.
Интересно, что множество рациональных чисел имеет меру Лебега ноль на действительной прямой. Это означает, что в почти все действительные числа являются иррациональными. Выходит весьма потужный парадокс, несмотря на плотность ℚ в ℝ, рациональные числа составляют пренебрежимо малую часть действительных чисел.
