Обобщение числа
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
Обобщение числа́ — это ход абстракции, которым шло всё теоретическое развитие математики с момента её основания в 6 веке до нашей эры и вплоть до осознания Лейбницем возможности математического оперирования над чем угодно помимо чисел. После публикации «новой ветви математики» Грассмана, шаблон был порван, числа были целиком дообобщены к концу 19 века, и обобщать стали всё остальное, включая само обобщение.
Что есть число?[править]
Чтобы понять, как обобщается число, нужно сперва понять концепцию «число». Вопрос очень коварный, и окончательный ответ был предоставлен не математиками, а логиками (Альфред Тарский, 1936 г.) Поныне в большинстве вузов даже выпускникам дают в лучшем случае объяснение на лестнице.
Всё врут календари[править]
Ложный — либо, ещё хуже, «даже не ложный» — ответ можно найти в справочном хрючеве для профана-первокурсника или технаря от сохи. Распарашено огромное количество унылых изданий на всевозможных языках, где даётся «определение» числа, но если бы профаны, пишущие и читающие это всё, чего-то понимали от такого писева и чтения, то не случилась бы поганая современность. Негры бы строили небоскрёбы и космодромы, китайцы говорили по-английски, а читатель сам бы ещё в начальной школе всё понял про числа. И не нужно бы было всирать эту статью.
Лёгкий вариант: число как ἀριθμός[править]
Правильный и простой способ определения: число есть 1 или результат оперирования над числами. Для чисел в классическом понимании, необходимо наличие операции плюс («сложить», +) и элемента 0, определяемого так: 0 + 1 = 1. Так натуральные числа можно поставить на прочную основу аксиом теории множеств. Для существования всего «канона» чисел классической математики, вдобавок, необходима достаточно мощная логика, способная задействовать в определениях операций метасинтактические переменные (т. е. вводить не просто аксиомы, а схемы аксиом, паттерны как бы). Также эта логика неким таинственным образом должна обеспечить инверсию операций: это допускает введение операции деления на неноль в общем случае, инфинитезимали, возведения в произвольную степень, а также определение мнимой единицы i (такого, что i²=−1). Всё это даётся не просто так, а ценою таких компромиссов, которые нарушают здравый смысл и всирают не поддающиеся вычислению конструкции: «деление на ноль» не даст соврать, ведь в общем случае деление это невычислимая залупа, в реальности нельзя просто так взять и поделить любое число: например, ⅓ = 0.33333333333333333333…(в ытоге вычислительная среда всирает ошибку округления).
Как бы то ни было, есть веские причины возиться с такими математическими объектами, это на практике быстро уясняют, например, в строительстве и в навигации. Весьма вероятно, что рождение математики вообще, как именно строгой науки, — было побуждено не практическими потребностями, а закономерной фрустрацией эллинов-основателей философии — насчёт логического «поведения» величин, интуитивный смысл и приблизительная мера которых известна была уже тысячи лет, — таких, как ноль, √2 (длина диагонали квадрата), π (пи), φ (золотое сечение).
Однако, всё это оказалось своего рода бурей в чайной чашке, поскольку классическая математика оказалась исчезающе «маленькой» в свой предметной области относительно всей возможной математики вообще. Более современный, апдейтнутый вариант очень глубок в его абстракции, и мы дадим его чуть ниже, а пока — небольшая разминка. Читатель, пойми вычислительную суть происходящего: создаётся генерация целого класса идей-сущностей без их перечисления. Для этого нужно лишь строго следить за базаром и следовать ходом самых очевидных шагов умозаключения. Поэтому давайте начнём с тех чисел, которые можно целиком договорить, имея лишь человеческий язык и грамматический род числительных: «один», «десять», «сто», «сто десять», «шесть миллионов». В математике это называется натуральными числами, ибо лишь они появляются как бы сами собой, в реальности. Итак, «число это единица или результат оперирования над числами». Оперировать над числами позволяется лишь так, как позволяет Природа: а это не больше и не меньше, чем сложение. Складывая две единицы, получаем 1+1, к этому можно прибавить ещё одну, и ещё, и ещё, и в логическом мире идей так повторять можно до бесконечности: лишь какие-то ирл обстоятельства могут помешать бесконечному распарашиванию единицы. В ходе этого получается не просто абы какое нагромождение натуральных чисел с улицы, а стройная, монотонная очередь: «все» числа от 1 до произвольно большого. Область применения этой концепции огромна, ведь среди ряда натуральных чисел всегда отыщется строго то, кое фиксирует число повторов некоей максимально точной повторимой величины, эталона, которому-то и назначается значение «1»: сантиметр, литр, бит, вот это всё. Вот и получилось обобщение числа: имея какую-то заданную 1, частную, локальную, и всего-то лишь мысля по-хакерски, рекурсивно, мы создали натуральные числа, все вообще. Остальное можно, как было сказано, найти в справочниках а-ля педивикия.
А теперь перейдём к сильному определению.
Фундаментальный вариант: число как λόγος[править]
Число есть данное или обобщение числа. Данное тут — отпричастное существительное, латинск. datum, которое слегка неуклюже перекликается с компьютерной концепцией «данные», латинск. data. Ведь, как было указано выше, единица, «1», это на практике всегда условная единица, и получается, её смысл тоже должен быть взят откуда-то свыше, с метауровня, из контекста. Аналогично, «оперирование», даже сложение, не состоит среди незыблемых универсальных принципов логики, возможность сложения должна быть обеспечена специальными допущениями, каковых логика сама по себе не терпит. А вот «обобщение» именно-таки фундаментальная вещь, покуда логика в каждом мыслимом случае нужна именно такая, в которой можно создавать не только отдельные аксиомы, но целые бесконечности аксиом, — так называемые аксиоматические схемы. Школьнику это косвенно знакомо в виде понятия о переменной: «иксы», «игреки», «альфы», «беты», «эмы» и «ка»… — не определены, а именно-таки обобщены: они употребляются в каждом случае, когда их значение «пока ещё рано» выяснять, ибо дискурс ведётся о схеме общего решения, не терпящего конкретики.
Получается именно то, что написано на упаковке всей этой статьи, вот именно этой самой, «обобщение числа». Автор даже не намеревался специально тут играть с рамками или развлекать кого-то, делая фишку. Дело в другом: к концу 20-го века оказывается, что обобщение — это вполне себе операция, но не арифметическая, и даже не математическая, а метаматематическая, то есть, логическая в корневом смысле. Выше мы уже чуть-чуть флекснули ею. Именно оно, обобщение, даёт из 1, аппликативного оператора и плюсования — сделать всю полную совокупность натуральных чисел. Небольшой косяк тут в том, что оперирование не определено. Оно настолько прочно засело в основах математической традиции, что в этих основах помимо оперирования остаётся… ой…
Я что-то нажал и всё исчезло.
«Обобщение» не называется операцией потому, что преподавание математики проводится от частного к общему: мозг подвергается долгим часам и дням каких-то произвольных воздействий, и если всерьёз задуматься о сути произшедшего (ведь мозг обрёл какие-то математические навыки), то захочется сделать обобщение: за две минуты подытожить то, что происходило дольше. Вдобавок, обязательно вспомнишь какие-то отдельные формулы и концепции, выражающие что-то непрямым путём, с помощью знаков, символов, — то есть, квазиматериальных инструментов обобщения. Особняком фигурирует феномен переменной: икс сам по себе, например, ничего определённого в математике не означает, его смысл разный и образуется каждый раз условиями и контекстом. Появление, «взятие» некоего знака переменной — не сама переменная, а сама переменная — не то, о чём в математике когда-либо заходит речь. Вот такое взятие, вот сам этот феномен, что вдруг откуда-то появляется знакомая буква, палочка, крестик или закорючка — настолько трансформирует мозг, что тот не замечает проводимых им обобщений, а они именно-таки проводятся, а не случаются и не снисходят свыше. Отцы-основатели информатики — не могли себе позволить такого упущения, ибо всякие компиляторы, парсеры, искусственные интеллекты должны быть научены, словно ребёнок, самым простым шагам логики, не через мутный базар, а в твёрдой и однозначной технической реальности.
Ах да, число. Число такое именно потому, что есть иерархия сложности обобщений, и она откуда-то начинается: откуда, было показано выше. Именно это «начало» и порождает единицу.
А данное с названием «данное» — свободно от этой иерархии, не требует опускания на самый простой уровень абстракции. Оно бывает любой сложности или простоты, любого размера и характера, цифровое и аналоговое. Если же охота резко вернуться с высот таких абстракций обратно в классику и школьную быдлообыденность, можно данным назначить единицу, а простейшее и наиболее классическо-школьное «обобщение единицы» было дано выше.
А нельзя ли попроще?[править]
Нет, попроще нельзя, вообще. Математика, особенно классическая, это огромная традиция чистого мышления, и её развитие можно продолжать до… полного обобщения чисел, какое было по-честному сделано лишь в 1930-х годах, и к тому времени существовала уже и безмерная геометрия (топология), и теория графов (не имеющая фундаментальной привязки к единице), и наклёвывались сотни других математических систем нечисловой породы.
